Razones y Proporciones

   Razones y Proporciones.

·         Regla de tres directa.

Examina el siguiente problema en el que tendrás que emplear la regla de tres directa para su solución.

Problema

Un automóvil emplea 8 litros de gasolina cada 96km. Si quedan en el depósito 10litros, ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Solución

Si se representa con x los kilómetros que podrá recorrer el automóvil con 10 litros de gasolina, se puede registrar la información que se tiene de la siguiente forma:

Lo cual también se puede expresar de la siguiente manera:

Para calculara x se multiplica 96 10 y se divide entre 8.  Entonces:

Por lo tanto:

Con los 10 litros de gasolina, el automóvil podrá recorrer 120 kilómetros.

·         Regla de tres inversa.

Para resolver el siguiente problema es necesario realizar una regla de tres inversa, como podrás observar enseguida.

Problema

Un granjero tiene alfalfa suficiente para alimentar a a300 caballos durante 45 días, ¿cuántos días podría alimentar con la misma cantidad de alfalfa a 100 caballos?

Solución

Si tuviera la mitad de caballos, le alcanzaría para darle de comer el doble de días; hay una relación inversamente proporcional: a menor cantidad de caballos, la alfalfa alcanza para más días.

Si x representa el número de días que se podrán alimentar a 100 caballos, entonces la información se puede registrar de la siguiente forma:

Las cantidades son inversamente proporcionales, por lo tanto:

Para encontrar x se multiplica 300  y se divide entre 100.

Por lo tanto:

Se podría alimentar a 100 caballos durante 135 días.

Descarga la actividad 12 e inicia practicando problemas que se plantean mediante reglas de tres directa e inversa.

Porcentajes

  Problemas de porcentajes.

ProblemaUn almacén tiene en oferta todos los CDs de música. Si por un  CD que costaba originalmente $225.00 se pagaron $185.00, ¿de qué porcentaje fue el descuento?

Solución: Para encontrar el descuento, se resta al precio original la cantidad que se pagó.

                                                                             225-185=40

Para encontrar el porcentaje se emplea la siguiente equivalencia:

Por lo que se plantea la siguiente proporción: 

Donde el porcentaje del precio que corresponde a $40.00 y 100% del precio le corresponde a $225.00.

Utilizando la regla de tres simple, para obtener x se multiplica 100  por 40 y se divide entre 225.

Por lo tanto:

El descuento fue de 17.78%.

Descarga la actividad 13 y pon en practica la solución de problemas que implican porcentajes.

División de Números Irracionales

División de números irracionales.

Para explicar la división de números irracionales realizaremos un ejemplo.

Ejemplo: Realiza el cociente de los siguientes números irracionales:

Usando la propiedad de los radicales:

Tendremos la siguiente expresión en el ejercicio:

Ahora simplificaremos tanto la fracción obtenida fuera de la raíz como la obtenida dentro de la raíz.

Juntando las simplificaciones:

Aplicando la propiedad de los radicales anterior a la inversa:

Racionalizando el resultado: 

Descarga la actividad 15 y pon en practica las operaciones con números irracionales. En ella encontraras ejercicios propuestos para suma, resta, multiplicación y división de números irracionales.

Multiplicación de Números Irracionales

Multiplicación de números irracionales.

Para explicar la multiplicación de números irracionales realizaremos un ejemplo.

Ejemplo: Realiza el producto de los siguientes números irracionales:

Se efectuará el producto de signos, de enteros con enteros y de irracionales con irracionales, para el ejemplo multiplicaremos los signos: 

Quedando negativo el resultado, después los enteros:

Siendo 12 el resultado y por ultimo irracionales con irracionales:

Sustituyendo en el ejercicio tenemos:

El resultado se simplifica:

Sustituimos la simplificación en el ejercicio  quedando la siguiente expresión:

Se efectúa la multiplicación de los enteros:

Suma y Resta con Números Irracionales

Abordaremos la suma y resta de números irracionales mediante un ejemplo, sumar y restar los siguientes números irracionales:

El primer paso será simplificar cada una de las raíces del ejercicio.

Una vez que se realizó la simplificación de raíces, se sustituye en el ejercicio.

Aquellos sumando que contengan la misma parte radical se suma o resta su  parte entera, según el signo, en este caso, se suma 3 y 5, quedando como resultado:

Veamos otro ejemplo: restar los siguientes números irracionales:

Simplificamos las raíces:

La simplificación se sustituye en el ejercicio y la parte entera en este caso se restara.

Racionalización

El objetivo de racionalizar una expresión es eliminar la raíz del denominador. Como un ejemplo se desarrolla el siguiente caso.

Para eliminar la raíz del denominador se multiplica la fracción por uno, 

(debe multiplicarse por 1 para que no se altere la expresión.) Observa como se lleva a cabo dicha multiplicación:

Recordando que:

Inicia tu practica sobre el tema de racionalización, descarga la actividad 11.

Simplificación de Radicales

Simplificación de radicales.

Se dice que un radical está simplificado a su mínima expresión cuando:

• Al descomponer el radicando en factores primos, todos los factores posibles se han “sacado” del radical.

•No se tienen exponentes negativos.

•El índice del radical se ha disminuido.

El radicando (número que se encuentra dentro del símbolo de la raíz) se descompone en factores primos y se expresa como una potencia.Se aplica la ley de los radicales:

Es recomendable que los factores se agrupen con un exponente igual al índice de la raíz para que de esa manera y aplicando la ley:

Se puedan sacar del radical de la raíz.

Ejemplo. Simplificar la siguiente raíz:   

Primero descomponer el valor 40 en factores primos:

Ahora formamos pares de números iguales: Se forma un par de 2, y queda un 2 y el 5. Se multiplica el par de 2 y los que quedan:

Los valores 4 y 10 se sustituyen dentro de la raíz como un producto: 

Ahora aplicamos la regla de los radicales que indica:  

Al aplicarla el ejercicios queda como: 

Resolvemos la raíz que es exacta:

Con esto ha quedado simplificada la raíz de cuarenta.

Es tiempo de practicar, descarga la actividad 10, y realiza la simplificación de las raíces indicadas.